Denizli’de dünyaya gelen Birsen Çelik, ilkokul, ortaokul ve lise eğitimini Denizli’de tamamladı. Ankara Üniversitesi Eczacılık Fakültesini bitirerek eczacı olarak meslek hayatına atıldı. Birsen Çelik, 1981 yılında Denizli’nin Bozkurt ilçesinde Hambat Eczanesi’ni kurdu. Mesleğine önem veren Çelik, 70’e yakın sertifika almaya hak kazandı. Ayrıca iki dönem Denizli Eczacı Odası yönetim kurulunda çalıştı. Eczacılık ve siyasetin yanı sıra aktif olarak Sivil Toplum Örgütlerinde yer aldı. Bozkurt Atatürkçü Düşünce Derneği (ADD) Yöneticiliği, Hambatlılar Derneği Kurucu Üyeliği, Çağdaş Yaşamı Destekleme Derneği (ÇYDD) üyeliği gibi pek çok sivil toplum örgütünde görev yaptı. Daha sonra iki dönem Denizli CHP İl Yönetiminde çalıştı. CHP’nin İl Genel Meclisi adayı olarak girdiği mahalli idareler seçimlerinde Denizli İl Genel Meclisliği Üyeliğine seçildi. İl Genel Meclisinde hem Bozkurt hem de Denizli için eğitimden sağlığa birçok alanda çalışmaların yapılmasına ve projelerin hayata geçirilmesine destek verdi. 2007 yılında yapılan genel seçimlerde 3. sıradan Denizli CHP milletvekili adayı oldu. Ancak partisinin yeterli oyu alamaması nedeniyle seçilemedi. Ancak 30 Mart 2014 yerel seçimlerine CHP’nin Bozkurt Belediye Başkanı Adayı olarak katıldı. Seçimlerde başarı elde eden Birsen Çelik, Bozkurt Belediye Başkanı seçildi. Türkiye’nin ilk kadın eczacı Belediye Başkanı olmayı da başardı.
Evli ve 2 çocuk annesi olan Çelik, 31 Mart 2019 yerel seçimlerinde yine Denizli Bozkurt Belediye Başkanı seçilerek görevine devam etti.